De números, infinitos y otras insanidades2 min read

Uno de los conceptos que más me siguen (y seguirán) asombrando es el infinito. ¿Qué es? ¿Cómo es? y miles de preguntas mas y más inteligentes y trascendentales.

Literalmente, infinito es una cantidad sin-fin, de lo que uno guste y para lo que uno guste.

Paradójicamente, esta definición es suficiente para abarcar varios infinitos, hablando matemáticamente. Para empezar hay infinitos numerables e infinitos no-numerables y esta distinción es la que explicaré en este post.

Por ejemplo, los números naturales (representados por una N con linea izquierda doble o más oscura) son la sucesión de números empezando por el 1 y crecientes en una unidad, es decir: si a es un número natural, entonces a + 1 es un número natural. De esta forma se construyen los números naturales. (Para más información al respecto: los postulados de Peano)

Pues bien, a lo que intento ir con esto es a explicar que los números naturales aunque son infinito son enumerables, es decir se puede crear una lista con todos los números naturales hasta cierto número, por ejemplo hasta 5: 1, 2, 3, 4 y 5. Este infinito se llama aleph 0.

El siguiente conjunto de número en complejidad son los números enteros (representados por Z) y posteriormente los números racionales (representados por Q), estos dos conjuntos son también numerables, por lo que pasaré al cuarto conjunto: el de los números reales (representados por R).

Los numeros reales son todos los numeros que podemos encontrar en la recta, este conjunto contiene a N, Z y a Q pero tiene una infinidad mas de números que la unión de los conjuntos anteriores, por ejemplo pi y e no se encuentran en ninguno de los conjuntos anteriores. Este conjunto no se puede enumerar, por ejemplo si quisiéramos hacer la lista a partir del 1, empezaríamos con 1, 1.01, 1.001, 1.0001 y asi podriamos seguir: 1.00000...0000000000000001 y jamás llegar al 1.1, de esta forma (y para cualesquiera dos números) podriamos hacer una lista infinita de números y jamás llegar al segundo número (en este caso 1.1). Es decir, ntre cualesquiera dos números reales, hay una cantidad infinita de números.

De hecho, aunque parezca paradójico: existe la misma cantidad de números entre el 1.0 y el 1.1 que en toda la recta de los reales, a este infinito se le llama aleph 1.

Para mas y más formal información, hay un articulo de Ramón Espinoza en laberintos e infinitos.

Espero sus comentarios.

31 thoughts on “De números, infinitos y otras insanidades”

  1. me gustaria que mostraran la fórmula para demostrar que entre dos números racionales hay infinitos números racionales

  2. hace tiempo que no hago demostraciones, pero a ver esta:
    sean a/b y c/d dos números racionales cualesquiera, tales que a/b < c/d (ó ad < bc) para no perder generalidad, a ambos les restamos a/b (los movemos al origen), y queda: a/b-a/b = 0 c/d-a/b = (bc-da)/(bd) (en particular, es un numero racional) teniendo esto basta demostrar que hay un número infinito de racionales entre 0 y (bc-da)/(bd) ¿estamos de acuerdo? pues muy fácil, porque sabemos que bd es un número natural y (por los axiomas de peano) sabemos que siempre hay un número mayor que bd por lo que 0 < (bc-da)/(bd+1) < (bc-da)(bd) y como sabemos que hay un infinito de naturales (o enteros positivos) le podríamos ir sumando cada vez mas a bd, y obtenemos lo siguiente 0 < ... < (bc-da)/(bd+n) < (bc-da)/(bd+n-1) < ... < (bc-da)/(bd+2) < (bc-da)/(bd+1) < (bc-da)/(bd) y como hay una infinidad de "n", con eso tienes que existen una infinidad de números racionales entre a/b y c/d a lo mejor medio rebuscada, pero creo que funciona.

  3. hola solo quero dar mi opinion 1.-Le falta mas color a esta pagina
    se ve triste el color se veria mas padre si pusieran un color mucho mas brillante 2 les falta definir bien que son los numeros naturales

  4. Los numeros naturales son el conjunto que se obtiene siguiendo el método que escribe b3co en el post: comenzar con 1 (o con 0 si eres computólogo, en verdad no hace gran diferencia) y si tienes un número natural n, entonces n+1 también lo es (la representación numérica en base decimal es completamente arbitraria, cualquier otra representación serviría). Esta es una definición por recursión (o por inducción, ahora dependiendo de qué lado del globo estés)
    Diana, si nos dices que tipo de información adicional necesitas, veremos qué se puede hacer.

  5. Gracias! Me entra esto para un examen de 2 dias mas y acabo de entenderlo gracias a tu concisa explicación.

  6. CASI NO HAY INFORMANCION LES PEDIMOS HA QUE SIGAN INVESTIGANDO PORQUE DE LOS QUE ESTA DISPONIBLE NO ES SUFICIENTE Y CASI NO SE RELACIONA CON EL TEMA GRACIAS

  7. El artículo mas parece una conversación de bar entre adolescentes que una presentación rigurosa de los números infinitos.
    Aunque se admite la existencia cantidades numerables (cantidad de números raturales) y no numerables (cantidad de puntos de una recta, el continuo) asociadas a los números aleph o y 1 respectivamente, no hay que descartar la existencia de otros números infinitos asociados a otras cantidades infinitas. Actualmente es motivo de discusión si la cantidad de núeros reales sea igual al continuo. La (cardinalidad) igualdad de elementos entre conjuntos hay que formalmente establecerla con la correspondiente aplicación biyectiva.
    Por último decir que entre 1 y 1,1 hay también una cantidad infinita (numerable) de números racionales aleph 0 de la misma manera que una cantidad infinita (no numerable) de números reales (“aleph 1” posiblemente).

  8. @Julián: En realidad no intenta ser mucho más que eso, una forma clara, para que cualquiera entienda las nociones del infinito. Con respecto a las cardinalidades de los infinitos, estoy completamente de acuerdo y hasta cierta forma al tanto de las grandes cuestionantes que existen al respecto, así como de lo que para algunos fue el precio que Cantor pagó por responderlas.
    Saludos
    beco

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