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π.
publicado por beco en matemáticas hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 12:44:56]

numeros

π, uno de los números más importantes, un número irracional, trascendente. Se define como el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia. Hay mucho escrito acerca de este número, pero es mi segundo número favorito, por lo que tiene su lugar aqui aunque sin tanto dato. (Varias referencias al final).

El círculo, en muchas culturas era el símbolo de la perfección, algunos pintores renacentistas demostraban su calidad dibujando círculos a mano limpia. Por otro lado, el círculo es uno de los patrones que se encuentran con mayor facilidad en la naturaleza. Es natural el estudio de dicha figura, pero es especialmente chistoso que una figura tan simple sea portadora de un número tan grande y misterioso.

Tal es mi fascinación hacia este número que en cierta ocasión (circa 2001), Elmer (el wey que no quería su mac) y yo, hicimos en matlab un programita que tocaba π, es decir, hicimos que reproduciera los tonos telefónicos en el orden de la expansión de π, como hasta 1500, estábamos seguros de que nos íbamos a encontrar alguna obra de Mozart o Bethoven, pero no lo logramos auqnue por teto que me oiga, no lo dudo.

Por partes:

- Irracional significa que la expansión de la mantisa (serie de números después del "." (en méxico) o "," (en españa)) es infinita sin patrones definitivos. En 2002 Yasumasa Kandan y su equipo consiguieron 1.240.000.000.000 cifras de expansión decimal de π.
- Trascendente significa que π es raiz de ningún(evitando dobles negaciones) polinomio de coeficientes racionales, este título lo comparte con números de la talla de e

- El artículo en wikipedia
- ¿En qué posición de π está tu número telefónico?, mega geek pero divertido. Mi teléfono empieza en la posición 17218769. De ahora en adelante cuando tenga que dar mi número daré su posición en π (ya estoy oyendo los 'nche teto)

.
- Varias expresiones de π
- π en Wolfram Research

Now I, even I, would celebrate
In rhymes inapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before
Left men his guidance
How to circles mensurate

Tip: cuenta la cantidad de letras en cada palabra.

Gran colaboracíon de Alberto Velázquez, gracias!, extraído de "Pi: A Source Book", de Lennart Berggren, Jonathan Borwein y Peter Borwein (Ed. Springer).

Además de las ligas, les dejo 1000 dígitos de la expansión decimal de π:

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6448229489 5493038196 4428810975 6659334461 2867564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301124912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072813 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252234825 3344585035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

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Comentarios (16)...

#1 »Rafael hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 04:13:56] escribió:

Pues de hecho una de las hipótesis más fuertes (aunque no se ha demostrado) es que pi es un número aleatorio. Esto significa que cualquier secuencia de dígitos de cualquier longitud se repite una infinidad de veces en la expansión decimal de pi. Si esta hipótesis es cierta, dentro de esa expansión siempre puedes encontrar una aproximación lo suficientemente buena de cualquier obra musical (tendría que ser aproximación, por tener solo 10 tonos distintos).
Por otro lado, cómo haces para que Matlab produzca sonidos? Eso es algo que me interesa, siempre es divertido jugar con los ruidos

#2 »El amargoso hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 09:51:03] escribió:

Varios comentarios:
1) Tu definicion de irracional está rara. Supongo que funciona así también.
2) Pi es trascendente junto con e y otro infinito no numerable de números reales.
3) No se si es problema de mi browser, pero los simbolos aparecen en tu pagina como un signo de interrogacion (?)

#3 »El Mariano hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 10:44:10] escribió:

'nche teto!!!
Buen post, ya era hora de que pusieras mas madres de mate.

por cierto, mensionaba es de mensionar o estoy menso.

#4 »LinuxMan hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 10:45:17] escribió:

Pues no es por ser criticon pero ...

Pero a la parte decimal de un número se la llama mantiSa ( con S ) a menos que te refieras a un un ataque perpetrado con mantas

Ej. Me dieron una mantiza

...pero también ha comentado por aca →

#5 »El Mariano hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 10:47:52] escribió:

por cierto, Elmer ya tiene mac de nuevo. Be afraid, very afraid!!!
No dudo que la historia tenga todavía mas que mostrarnos

#6 »Rafael hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 11:16:50] escribió:

Beco, muchas gracias por el artículo, está muy interesante. De todos modos, eso no contradice la idea de que puedes encontrar una aproximación lo suficientemente buena de cualquier melodía, si buscas lo suficiente en los dígitos de pi.
Amargoso, la cardinalidad de los números trascendentes es la misma que la de los reales, pero creo que eso es obvio de la definición que da Beco de los número trascendentes; no necesitamos tus aclaraciones chafas

#7 »El amargoso hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 11:19:57] escribió:

La aclaracion chafa venia a consideracion de que ser trascendente no le da ninguna categoria extra a un numero, tan solo es una simple caracteristica. Gracias por tus siempre amables comentarios

#8 »Rafael hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 11:26:59] escribió:

Amargoso, un placer

#9 »El amargoso hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 11:28:43] escribió:

Igualmente

#10 »condor hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 12:05:04] escribió:

Que blog tan amigable

#11 »saffog hace 39 meses(3.25 años) [6-05-05 05:16:55] escribió:

Bueno, bueno está bien que las diferencias se arreglen con golpes bajos de palabras y ortografía, pero los lectores del mensaje siempre, al menos yo, exigimos más sangre. En el caso del Sr. Vampiro y B3co sería interesante observarlos en una jaula electrificada arreglando tales diferencias.

Supongo que una conversación, si se tonalizara, su patrón se encontraría en la expansión de cualquier irracional. Pero lo importante es la mística de la búsqueda de patrones.

...pero también ha comentado por aca →

#12 »Grajeda hace 39 meses(3.25 años) [7-05-05 02:19:26] escribió:

pues el mio empieza en la posición 2411063... daaaaaaaaa

...pero también ha comentado por aca →

#13 »beco hace 39 meses(3.25 años) [22-05-05 02:51:58] escribió:

rafa deja veo si todavia tenemos ese codigo, si no deja le averiguo, acerca de lo que comentas (parecido) hace poco creo que lograron demostrar que pi no es el mejor generador de numeros aleatorios, deja busco la liga y te la mando.

Mi estimadisimo conde chocolatin, digo manolito, digo amargoso, por partes:
1) tienes toda la razon, lo corregire aunque sirve
2) nunca lo negue, de hecho en la pagina de wikipedia encuentras los trascendentes mas famosos
3) corregido, error mio, te lo agradezco

buen dia

...pero también ha comentado por aca →

#14 »beco hace 39 meses(3.25 años) [22-05-05 02:51:58] escribió:

rafa, he aqui el articulo que mensionaba:
http://www.microsiervos.com/archivo/azar/numeros-aleatorios.html

saludos

...pero también ha comentado por aca →

#15 »beco hace 39 meses(3.25 años) [22-05-05 02:51:58] escribió:

a ver, se ve que mi ortografia el dia de hoy ha estado pal perro, gracias por las dos correcciones, la del post ya esta corregida, en lo mas minimo criticon, gracias.
La segudna quedara como monumento a mi hortografia

(y a mi hueva de hoy

)

...pero también ha comentado por aca →

#16 »otero hace 28 meses(2.3333333333333 años) [13-04-06 05:44:35] escribió:

EL NUMERO PI ES UN NUMERO NORMAL

Se conocen actualmente millones de cifras del numero pi pero
no se a probado que las cifras de pi sigan una distribucion
aleatoria y por tanto que todas las cifras de 0 a 9 aparezcan
con la misma frecuencia es posible que a partir de un momento
dado todas las cifras de pi sean 0 y 1 distribuidas de forma
irracional o cualquier otra combinacion de numeros o que sea
un unico numero el que no aparezca .Tal suposicion es imposible.
Tomemos la formula de leibniz

pi = 4 * ( 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... )

la formula es una suma y resta alternativa del inverso de todos
los impares hasta el infinito .La formula es de convergencia
lenta se necesitan 50 terminos para calcular 2 cifras 500 para
3 cifras 5000 para 4 y asi sucesivamente por lo tanto resulta
inapropiada para calcular un numero elevado de cifras ya que
necesitariamos un tiempo elevado para calcularlas .Si sumamos
y restamos unos cuantos terminos vemos lo siguiente

1

- 1/3 = 0.333333333333...

+ 1/5 = 0.2

- 1/7 = 0.142857142857...

+ 1/9 = 0.111111111111...

- 1/11 = 0.090909090909...

-------------------------

0.744011544011...

La sucesion de numeros en su desarrollo decimal de la mayoria
de las fracciones llega al infinito el numero de posibles
combinaciones de numeros de todas las columnas de numeros
de la suma y resta es un numero determinado si llevasemos
esta suma y resta en cantidad de terminos que intervienen
hasta el infinito ocurriria lo siguiente el numero de
combinaciones de cifras de las columnas de la suma y resta
seria infinita.
Si el numero de combinaciones de cifras es infinito cada
cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad mayor que cero de
aparecer en el resultado al ser infinitas el numero de
combinaciones cada cifra aparecera un numero infinito de
veces con lo cual queda demostrado que la suposicion de
la que hablamos al principio es falsa.
Al ser cada termino de la forma 1/n en el que n es cualquier
numero impar desde 3 hasta infinito.En su desarrollo decimal
de cada termino cada cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad
mayor que cero de aparecer en cualquier lugar de la fila de
los infinitos digitos.Si un determinado digito no aparece
en un determinado termino lo hara en el siguiente o en el
siguiente o en otro cualquiera de forma que los terminos
en su conjunto dan la posibilidad de que la aparicion de
las cifras de 0 a 9 es igual para todas en el conjunto
de los terminos y a su vez en el resultado.Si cualquier
resultado es posible podiamos argumentar que un resultado
de todos los posibles seria que a partir de determinado
momento todas las cifras de pi fuesen 0 y 1 pero no es asi.
Si lanzasemos un dado un determinado numero de veces sea
cual sea el numero de veces uno de los resultados posibles
seria que solo apareciesen dos numeros.Pero si llevamos el
numero de tiradas al infinito la posibilidad de que solo
apareciesen dos numeros seria nula.La razon es que si todos
los posibles resultados son solo dos numeros los restantes
serian inexistentes o nulos o su probabilidad cero.Si los
numeros restantes tienen una probabilidad mayor que cero
de aparecer en el resultado al ser infinitas el numero
de tiradas cada numero apareceria un numero infinito de
veces.Este ejemplo es trasladable a la sucesion de terminos
que estamos viendo.
Si a partir de determinado momento todas las cifras de pi
son ceros y unos eso supondria decir que la cantidad de
veces que aparece determinada cifra es un numero determinado
cuando hemos demostrado que son infinitas.
En una suma o resta de numeros aleatorios la posibilidad de
que salga cualquier cifra de 0 a 9 en el resultado es de
una entre diez si la suma o resta la llevamos en cantidad
de numeros que intervienen al infinito salen todas las cifras
y ademas salen infinitas veces aunque la suma de terminos de
la serie de leibniz que hemos puesto como ejemplo no es una
suma de numeros aleatorios tiene la apariencia caracteristicas
y posibilidades en el resultado como si realmente lo fuera.
Suponer que a partir de determinado momento todas las cifras
del numero pi sean ceros y unos o cualquier otra combinacion
de numeros es tanto como suponer que no exite ninguna
posibilidad para que aparezcan las restantes a partir de
dicho momento.Sin enbargo la formula de leibniz que hemos
puesto como ejemplo nos dice todo lo contrario la posibildad
de que salga cualquier cifra de 0 a 9 es igual a lo largo de
todos sus terminos.
Tambien podiamos suponer que una conbinacion determinada de
numeros diese un numero pi en el que a partir de determinado
momento todas las cifras de pi sean 0 y 1. Pero no es este
el caso que nos ocupa. Cada termino tiene sus propios digitos
particulares que se ponen de particular forma en cada fila
de la suma estos a su vez se combinan con los de otros
terminos para el resultado. Si suponemos que a partir de
determinado momemto todas las cifras de pi sean ceros y unos
hasta el infinito los terminos habrian de tener unas formas
muy especificas y determinadas como tal circunstancia no se
da se da la unica posibilidad cierta es que se den todos los
resultados de digitos de 0 a 9.
Dicho de otra forma la formula da un conjunto de infinitos
elementos (estos elementos son las columnas de numeros de
la suma y resta) en el que cada elemento es un conjunto de
numeros llamemosles aleatorios aunque no lo son en el que
las cifras de 1 a 9 aparecen en cantidad variable hasta un
maximo de infinitas que se combinan de infinitas formas y
estos a su vez con otros elementos .
En un conjunto en el que se dan infinitas conbinaciones de
numeros para el resultado y se dan todas las posibilidades
para que se salgan los resultados de 0 a 9 la posibilidad
de que se de un resultado distinto a 0 y 1 existe y no solo
una sino infinitas veces .Asi pues aunque puede ocurrir que
durante un periodo mas o menos largo las cifras de pi fuesen
0 y 1 llegaria el momento en que tal periodo acabaria y no
llegaria hasta el infinito. Lo mismo ocurre para cualquier
otra conbinacion de numeros .En conclusion aunque la
aparicion de las cifras de 0 a 9 pueden no ocurrir entre si
con la misma frecuencia todas las cifras de 0 a 9 aparecen
durante el desarollo infinito del numero pi .

El mismo razonamiento que hemos empleado para pi lo podemos
aplicar a el numero e base de los logaritmos naturales
una de las formulas para el numero e es la siguiente

e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) +

1/(1*2*3*4*5) + 1/(1*2*3*4*5*6) + 1/(1*2*3*4*5*6*7) + ...

si sumamos unos cuantos terminos

1

+ 1/1 = 1

+ 1/(1*2) = 0.5

+ 1/(1*2*3) = 0.166666666666...

+ 1/(1*2*3*4) = 0.041666666666...

+ 1/(1*2*3*4*5) = 0.008333333333...

+ 1/(1*2*3*4*5*6) = 0.001388888888...

+ 1/(1*2*3*4*5*6*7) = 0.000198412698...

---------------------------------------
2.718253968253...

si un termino es igual a 1/A el siguiente es igual a
1/(A*N) es decir que el segundo termino es N veces
mas pequeño que el anterior y el siguiente N+1 veces
mas pequeño que este ultimo y N es igual a cualquier
numero entero desde 2 hasta infinito.Por lo tanto
cada termino averigua mayor proporcion de cifras que
el anterior.
Nuevamente vuelven a aparecer las mismas circunstancias
que vimos para el numero pi infinitas conbinaciones de
numeros mismas posibilidades para aparecer en el resultado
todas las cifras de 0 a 9 por lo tanto aunque las cifras
de 0 a 9 pueden no aparecer con la misma frecuencia
todas las cifras de 0 a 9 aparecen durante el desarrollo
infinito del numero e.

para cualquier respuesta contactar con oterofresa@hotmail.com

...pero también ha comentado por aca →

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