De números, infinitos y otras insanidades

por beco el 25/11/2004 archivado en: matemáticas

Uno de los conceptos que más me siguen (y seguirán) asombrando es el infinito. ¿Qué es? ¿Cómo es? y miles de preguntas mas y más inteligentes y trascendentales.

Literalmente, infinito es una cantidad sin-fin, de lo que uno guste y para lo que uno guste.

Paradójicamente, esta definición es suficiente para abarcar varios infinitos, hablando matemáticamente. Para empezar hay infinitos numerables e infinitos no-numerables y esta distinción es la que explicaré en este post.

Por ejemplo, los números naturales (representados por una N con linea izquierda doble o más oscura) son la sucesión de números empezando por el 1 y crecientes en una unidad, es decir: si a es un número natural, entonces a + 1 es un número natural. De esta forma se construyen los números naturales. (Para más información al respecto: los postulados de Peano)

Pues bien, a lo que intento ir con esto es a explicar que los números naturales aunque son infinito son enumerables, es decir se puede crear una lista con todos los números naturales hasta cierto número, por ejemplo hasta 5: 1, 2, 3, 4 y 5. Este infinito se llama aleph 0.

El siguiente conjunto de número en complejidad son los números enteros (representados por Z) y posteriormente los números racionales (representados por Q), estos dos conjuntos son también numerables, por lo que pasaré al cuarto conjunto: el de los números reales (representados por R).

Los numeros reales son todos los numeros que podemos encontrar en la recta, este conjunto contiene a N, Z y a Q pero tiene una infinidad mas de números que la unión de los conjuntos anteriores, por ejemplo pi y e no se encuentran en ninguno de los conjuntos anteriores. Este conjunto no se puede enumerar, por ejemplo si quisiéramos hacer la lista a partir del 1, empezaríamos con 1, 1.01, 1.001, 1.0001 y asi podriamos seguir: 1.00000...0000000000000001 y jamás llegar al 1.1, de esta forma (y para cualesquiera dos números) podriamos hacer una lista infinita de números y jamás llegar al segundo número (en este caso 1.1). Es decir, ntre cualesquiera dos números reales, hay una cantidad infinita de números.

De hecho, aunque parezca paradójico: existe la misma cantidad de números entre el 1.0 y el 1.1 que en toda la recta de los reales, a este infinito se le llama aleph 1.

Para mas y más formal información, hay un articulo de Ramón Espinoza en laberintos e infinitos.

Espero sus comentarios.

31 comentarios

  1. 30/01/2006leidy hernandez says:

    me gustaria que mostraran la fórmula para demostrar que entre dos números racionales hay infinitos números racionales

  2. 31/01/2006Nacho says:

    Eso es muy fácil de probar. Utiliza la siguiente fórmula
    f(ai,bi)=(ai+bi)/2 con ai y bi números racionales y toma ai+1=ai, bi+1=f(ai,bi)

  3. 31/01/2006beco says:

    hace tiempo que no hago demostraciones, pero a ver esta:

    sean a/b y c/d dos números racionales cualesquiera, tales que a/b <
    c/d (ó ad < bc) para no perder generalidad, a ambos les restamos a/b
    (los movemos al origen), y queda:
    a/b-a/b = 0
    c/d-a/b = (bc-da)/(bd) (en particular, es un numero racional)

    teniendo esto basta demostrar que hay un número infinito de racionales
    entre 0 y (bc-da)/(bd) ¿estamos de acuerdo?

    pues muy fácil, porque sabemos que bd es un número natural y (por los
    axiomas de peano) sabemos que siempre hay un número mayor que bd por
    lo que
    0 < (bc-da)/(bd+1) < (bc-da)(bd)

    y como sabemos que hay un infinito de naturales (o enteros positivos)
    le podríamos ir sumando cada vez mas a bd, y obtenemos lo siguiente

    0 < … < (bc-da)/(bd+n) < (bc-da)/(bd+n-1) < … < (bc-da)/(bd+2) <
    (bc-da)/(bd+1) < (bc-da)/(bd)

    y como hay una infinidad de “n”, con eso tienes que existen una
    infinidad de números racionales entre a/b y c/d

    a lo mejor medio rebuscada, pero creo que funciona.

  4. 28/08/2006Anonymous says:

    hola solo quero dar mi opinion 1.-Le falta mas color a esta pagina
    se ve triste el color se veria mas padre si pusieran un color mucho mas brillante 2 les falta definir bien que son los numeros naturales

  5. 31/08/2006Diana says:

    Falta más información acerca de estos números

  6. 31/08/2006Diana Elizabeth Meza Osorio says:

    Me guataría que pusieran más información.

  7. 31/08/2006Rafael says:

    Los numeros naturales son el conjunto que se obtiene siguiendo el método que escribe b3co en el post: comenzar con 1 (o con 0 si eres computólogo, en verdad no hace gran diferencia) y si tienes un número natural n, entonces n+1 también lo es (la representación numérica en base decimal es completamente arbitraria, cualquier otra representación serviría). Esta es una definición por recursión (o por inducción, ahora dependiendo de qué lado del globo estés)
    Diana, si nos dices que tipo de información adicional necesitas, veremos qué se puede hacer.

  8. 20/09/2006levhita says:

    La analogia del hotel infinito se utiliza para describir esta paradoja matematica. está curadisima.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_infinito

  9. 11/10/2006VALERIA says:

    LE FALTA MAS COLOR A SU HOJA

  10. 4/07/2007Isa says:

    Gracias! Me entra esto para un examen de 2 dias mas y acabo de entenderlo gracias a tu concisa explicación.

  11. 8/08/2007LESLIE ESTEFANIA says:

    CASI NO HAY INFORMANCION LES PEDIMOS HA QUE SIGAN INVESTIGANDO PORQUE DE LOS QUE ESTA DISPONIBLE NO ES SUFICIENTE Y CASI NO SE RELACIONA CON EL TEMA GRACIAS

  12. 23/08/2007jaq says:

    bueno yo quero decirles que les falta alegria y tambien los signo que representan los números que existen. ¡thanks!

  13. 23/08/2007mosiiiiiiiiii says:

    bueno no me gusta la página y me parece poca información

  14. 18/09/2007***** says:

    le hce faltams informacion acerca delos numeros nturals hay poca

  15. 23/09/2007mari jose says:

    ESTA MUY BIEN PERO LE HACE FALTA EL PORQUE LOS NUMEROS ENTEROS NATURALES Y RACIONALES SE REPRESENTAN CON CADA LETRA

  16. 30/01/2008DORIS COROMOTO says:

    gracias me sirvio mucho (¨¨)

  17. 31/01/2008samuel says:

    le informo k su pagina esta siendo jakeada

  18. 5/03/2008juan says:

    mmmm porqueriaa

  19. 31/03/2008Anonymous says:

    sois unos mamones

  20. 31/03/2008silvia says:

    sois unos ijos de puta todoss!! mamones jackas de mierda

  21. 31/03/2008silvia says:

    sois unos ijos de puta todoss!! mamones jackas de mierda

  22. 7/10/2008victor says:

    no sirve para nada

  23. 25/08/2009azul rocha medina says:

    las matematicas son lo peor pero aña vez nos enseña

  24. 15/10/2009Julián López Polo says:

    El artículo mas parece una conversación de bar entre adolescentes que una presentación rigurosa de los números infinitos.
    Aunque se admite la existencia cantidades numerables (cantidad de números raturales) y no numerables (cantidad de puntos de una recta, el continuo) asociadas a los números aleph o y 1 respectivamente, no hay que descartar la existencia de otros números infinitos asociados a otras cantidades infinitas. Actualmente es motivo de discusión si la cantidad de núeros reales sea igual al continuo. La (cardinalidad) igualdad de elementos entre conjuntos hay que formalmente establecerla con la correspondiente aplicación biyectiva.
    Por último decir que entre 1 y 1,1 hay también una cantidad infinita (numerable) de números racionales aleph 0 de la misma manera que una cantidad infinita (no numerable) de números reales (“aleph 1″ posiblemente).

  25. 15/10/2009beco says:

    @Julián: En realidad no intenta ser mucho más que eso, una forma clara, para que cualquiera entienda las nociones del infinito. Con respecto a las cardinalidades de los infinitos, estoy completamente de acuerdo y hasta cierta forma al tanto de las grandes cuestionantes que existen al respecto, así como de lo que para algunos fue el precio que Cantor pagó por responderlas.

    Saludos
    beco

  26. 10/02/2010faby says:

    quiero decir que cual es la cantidad mas grande que se ha detectado
    bye

  27. 19/02/2010anonimo says:

    miren yo quiero saber cuales son los numeros infinitos

  28. 25/08/2010Anonymous says:

    nose i no me interesa

  29. 24/10/2010yuraima says:

    mire nose a tan loco pece le cujtom u tede todo lo q dise lo crede y nada

  30. 24/10/2010yuraima says:

    mire nose a tan loco pece le cujtom u tede todo lo q dise lo crede y nada

  31. 11/02/2011Best Way to Lose Weight says:

    Your posts are very interesting to read!! I am going to bookmark this blog. Put up more posts. <33

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