publicado por beco
en matemáticas
hace 14 meses [31-05-07 04:54:24]
... o en un infinito, sabiéndolo acomodar.
Este tipo de demostraciones que pueden ser tan inútiles, suelen ser sumamente interesantes, porque no son difíciles pero te hacen pensar un buen rato.
Es posible demostrar verazmente que existe el mismo número de puntos entre el 0 y el 1, que entre el 0 y el 1,000,000,000. Esto sería la versión formal de "todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar".
Podemos empezar con un par de conceptos sumamente sencillos, incluso, bien conocidos, pero formalicémoslos con fines exclusivos de este artículo:
- punto: es la representación gráfica de cualquier número en la recta numérica.
- intervalo: un intervalo es el subconjunto de los números reales que contiene todos los puntos entre cualesquiera dos números, (para más quisiquillosos, en este caso no creo necesario diferenciar entre abierto y cerrado). Para información más formal y completa, vayan a intervalo en la wikipedia. Un intervalo entre a y b se denotará [a, b].
Bien, supongamos que en el intervalo entre el 0 y el 1 ([0, 1]) existen A puntos (A en realidad es , (aleph1)), por lo tanto, lo que queremos probar es que en [0, 1,000,000,000] existen tambien A puntos.
Lo que podemos hacer es meter a todos los puntos del intervalo [0, 1,000,000,000] al intervalo [0, 1].
Esto es muy fácil, simple y sencillamente, a todos los puntos en el intervalo [0,1,000,000,000] los dividimos entre 1,000,000,000, de esta forma todos y cada uno de los puntos del intervalo [0, 1,000,000,000] son trasladados al intervalo [0, 1]. También se dice que los elementos de un conjunto son asociados a los elementos de otro. Esto lo hacemos todos los días a la hora de contar, es decir asociamos los cualesquiera elementos al conjunto de los números naturales (1, 2, 3, ..., 239, ...).
Con esto ya podemos afirmar que el intervalo [0, 1,000,000,000] cabe en el intervalo [0, 1], por lo tanto hasta aqui podemos afirmar que el intervalo [0, 1] al menos tiene el mismo número de puntos que el [0, 1,000,000,000].
Hasta aqui podría quedar la duda: ¿Tiene más puntos? La respuesta es no. De la misma forma que metimostodos los puntos del [0, 1,000,000,000] al [0, 1] podemos hacer el inverso: meter todos los puntos [0, 1] en [0, 1,000,000,000] y con esto demostramos que hay el mismo número de puntos en un conjunto que en otro.
#5 »darius hace 14 meses [31-05-07 05:18:02] escribió:
Mi queridísimo Beco,
estaría chido que también te aventaras, ya que traes tenis, la demostración de que el infinito de números reales es mayor que el infinito de números naturales...
Y por cierto, yo no soy matemático ni nada por el estilo (un vulgar ingeniero), pero me enamoré de estos temas por un librito llamado Paradojas Matemáticas de un tal Northrop, ¿lo has leído?
#6 »el amargoso hace 14 meses [31-05-07 07:40:29] escribió:
Pues como seguro me extrañabas, ahi va el comentario amargoso. Nadie sabe si el numero de puntos en un continuo es aleph-1, o que sea. De hecho, dicen los que saben, que no me considero entre ellos, que todo parece indicar es aleph-2
#7 »Rafael hace 14 meses [31-05-07 10:38:25] escribió:
Bueno, nos estamos saliendo del tema, pero aunque es cierto que no se ha demostrado que el numero de puntos que esta considerando beco es aleph_1, sí se ha demostrado que sí puede ser; es decir, no hay contradicción en suponer que lo es. Sé que aún así no es completamente formal usarlo, pero en casos prácticos (sea lo que sea eso cuando se habla de infinitos) no tiene nada de malo.
Saludos!
#9 »beco hace 14 meses [1-06-07 02:39:39] escribió:
@darius: no, no lo conozco pero lo buscaré! Sobre esa demostración mas o menos se ha tocado en este artículo, pero en una de esas podríamos profundizar un poco mas.
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